在乘法的运算中，常出现同一数字多次相乘的情况。为了熟练处理这样的计算，幂数 被定义为 \[\begin{equation}\label{def_power} a^n \triangleq \quad \stackrel{n\text{个}a\text{相乘}} {\overbrace{a\times\cdots\times a}} \end{equation}\]
幂数中最常见的是，同一个数字相乘2次，这就是平方。
| 12 | 22 | 32 | 42 | 52 | 62 | 72 | 82 | 92 | 102 |
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
上面是1-10各自平方的值，更一般地是，对任意数\(a\)，其平方为 \[a^2\]
平方的思路是，从一个已知数出发，计算其平方值。开方的思路相反，已知平方值， 计算被平方的数。
| 开方 | \(x\) | 开方 | \(x\) |
|---|---|---|---|
| x2=1 | 1 | x2=2 | ? |
| x2=4 | 2 | x2=3 | ? |
| x2=9 | 3 | x2=5 | ? |
| x2=16 | 4 | x2=6 | ? |
| x2=25 | 5 | x2=7 | ? |
| x2=36 | 6 | x2=8 | ? |
| x2=49 | 7 | x2=10 | ? |
| x2=64 | 8 | x2=11 | ? |
| x2=81 | 9 | x2=12 | ? |
| x2=100 | 10 | x2=13 | ? |
上表中，第一列的开方很容易，x有确切的值；第三列的开方却不容易，我们不知道 x确切的值。为了便于书写开方后的值，我们引入下面的记号： \[\sqrt{a}\] 所以，上表可以写成：
| 开方 | \(x\) | 开方 | \(x\) |
|---|---|---|---|
| x2=1 | \(\sqrt{1}\) | x2=2 | \(\sqrt{2}\) |
| x2=4 | \(\sqrt{4}\) | x2=3 | \(\sqrt{3}\) |
| x2=9 | \(\sqrt{9}\) | x2=5 | \(\sqrt{5}\) |
| x2=16 | \(\sqrt{16}\) | x2=6 | \(\sqrt{6}\) |
| x2=25 | \(\sqrt{25}\) | x2=7 | \(\sqrt{7}\) |
| x2=36 | \(\sqrt{36}\) | x2=8 | \(\sqrt{8}\) |
| x2=49 | \(\sqrt{49}\) | x2=10 | \(\sqrt{10}\) |
| x2=64 | \(\sqrt{64}\) | x2=11 | \(\sqrt{11}\) |
| x2=81 | \(\sqrt{81}\) | x2=12 | \(\sqrt{12}\) |
| x2=100 | \(\sqrt{100}\) | x2=13 | \(\sqrt{13}\) |
假设存在整数n和m，使得 \[\sqrt{2} = \frac{n}{m}\] 且 \(\frac{n}{m}\) 不可约。那么，有如下推导 \[\begin{align*} \sqrt{2} &= \frac{n}{m} \\ 2 &= \frac{n^2}{m^2} \\ 2m^2 &= n^2 \end{align*}\] 因为\(2m^2\)是偶数，也即\(n^2\)是偶数，从而n也是偶数（偶数的平方是 偶数，奇数的平方是奇数）。从而n可以写成 \[n = 2k\] 其中k是另外一个整数，从而 \[\begin{align*} 2m^2 &= (2k)^2 \\ 2m^2 &= 4k^2 \\ m^2 &= 2k^2 \end{align*}\] 从而m也是一个偶数。综合得，n和m都是偶数，然而，这与我们的起点——假设 \(\frac{n}{m}\)不可约相矛盾！所以，我们的出发点是不对的，也即 \[\sqrt{2}\text{ 不能表示成 } \frac{n}{m} \]
通过变化n和m，n/m可以任意大，也可以任意小，但是却不能表示\(\sqrt{2}\)！
?
\(\sqrt{2}\)到底是多少呢？
非比例数，也即一般所说的无理数。
虽然，比例数可以任意大，也可以任意小，但是，就是表示不了\(\sqrt{2}\)！ 那么，数字应该是什么呢？
数数的时候，{1,2,3,4···}，大家基本一致认为，这样的整数是合理的、与现实生活经验一致、理所当然的，比如，1个人、2个人、3个人等等，如此下去。
其实，如果严格按经验标准（要么有现实对应，要么现实可以做到），\(\frac{1}{3}\)是个不存在的数，因为现有的手段无法做到，将1平均等分成3份，尽管，可以 将3等分成3份。但是，我们还是心安理得地，接纳了\(\frac{1}{3}\)这样的比例数。 这也意味着，大家放弃了经验标准，超脱了现实世界，构造了自己想要的数字，形成 了数字理论。
\(\sqrt{2}\)在超脱现实世界方面，走的更远一点。\(\sqrt{2}\)只是一个简洁的 记号，实际指代满足下面等式的x: \[x^2 = 2\] 我们从整数里找不到这样的x，从比例数中也找不到x。就像，\(\frac{1}{3}\)也只 是一个记号，实际指代满足下式的x： \[x\times3=1\] 我们从整数里找不到这样的x，于是“虚构”出比例数\(\frac{1}{3}\)，其他的比例 数类推。对于\(\sqrt{2}\)这样的情况，于是我们也“虚构”出非比例数\(\sqrt{2}\) ，其他非比例数类推。
