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加减法 乘除法 幂数 指数 对数 无理数 实数

指数


1. 指数(Exponential function)

指数乍一看,与幂数一样,指代的也是一个数字多次相乘。

\[\begin{equation}\label{def_power} a^n \triangleq \quad \stackrel{n\text{个}a\text{相乘}} {\overbrace{a\times\cdots\times a}} \end{equation}\]

不一样的是,指数关心\(a^n\)随着\(n\)的变化,幂数关心\(a^n\)随着 \(a\)的变化。用\(x\)表示变化的数,则指数可写成\(a^x\),幂数可写成 \(x^n\)

指数有什么应用背景呢?


满清于1644年入山海关,自此开始统治整个中国,至1912年中华民国成立结束, 期间共有十位皇帝,依次是

  1. 顺治
  2. 康熙
  3. 雍正
  4. 乾隆
  5. 嘉庆
  6. 道光
  7. 咸丰
  8. 同治
  9. 光绪
  10. 宣统

现在,如果我想估算一下,到1912年的时候,顺治帝一共有多少第九代男性后人。同时, 我做一个简单的假设,每个皇帝(及其后代)每人都生了5个儿子。那么,我最终的估算,会是多少呢?


应该有\(5^9=1,953,125\)个第九代男性后人,这个数字接近2百万, 不知道与真实数据相差多少?一般的史料,是无法验证这个数字估计的准确性, 也许只有皇室的家谱可以给出真实的数字。


2. 利息的计算与自然数\(e\)

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\] 指数的另外一个应用,是金融里的利息计算。

假设有一家银行,客户存¥10,000元,存一年可获得利息¥500,即年利率为5%。如果客户同样存¥10,000,但只存一天,而且假定一年有365天。问该用户应该获得多少利息比较合理呢?


一种直观的结论,应该获得¥\(10000\times \frac{0.05}{365} = \frac{500}{365} \approx 1.37\) 元,对应于一年(365天)的利率5%,一天的利率为\(\frac{5}{365}\)%。


但是,有一些精明的人发现,在这样的情况下,有一种方式可以获得更多的利息:同样存 ¥10,000,同样是存一年,但是,不是一次性存一年,而是,

  1. 第一天将¥10,000全部存进去,
  2. 第二天将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})\) 取出来,然后立即存进去;
  3. 第三天再将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})^2\) 取出来,然后立即存进去;
  4. 第四天再将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})^3\) 取出来,然后立即存进去;
  5. 继续…
  6. 第365天再将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})^{364}\) 取出来,然后立即存进去;
  7. 第366天将本金和利息共 ¥\(10000\times(1+\frac{0.05}{365})^{365}\) 取出来,刚好一年,停止存进去。


后一种存钱方式,比一次性将¥10,000存入银行一年的收益要多,为什么? 一种直接的方式是,用计算器可计算得 \[10000\times(1+\frac{0.05}{365})^{365} \approx 10512.67\] 也即,后一种方式,存¥10,000元,比一次性存一年,要多获得¥13。


同样的¥10,000,改成每半天一存,然后同样取出本金和半天的利息再存入, 如此持续存一年,会获得多少收益呢?


每半天一存,对应一年后的本金为 \[10000\times(1+\frac{0.05}{365\times 2})^{365\times 2} \approx 10512.69\] 继续这样的想法,即是自然数 \(e\) 的产生由来 \[(1+\frac{0.05}{n})^n = (1+\frac{0.05}{n})^{\frac{n}{0.05}\times 0.05} \] 其中关键的是 \[(1+\frac{0.05}{n})^{\frac{n}{0.05}} \] 即,可改写成 \[(1+\frac{1}{m})^m\] 其中 \(m = \frac{n}{0.05}\)。当 \(m\) 不断增大时,上式的取值不断接近一个数, 这个数就是自然数 \(e\), 我们写成 \[\lim_{m\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{m})^m = e\] 自然数 \(e\) 是一个无理数,其近似值为 \(2.718281828\cdots\)